相似三角形

比例线段

对于四条线段 $a$，$b$，$c$，$d$ 如果两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(ad=bc)$，我们就说这四条线段成比例。

比例性质

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$$$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\to b^2=ac$$

比例中项

如果 $a$、$b$、$c$ 三个量成比例即 $a:b=b:c$，$b$ 叫做 $a$ 和 $c$ 的比例中项。

例子

$$1:2=2:4$$

$2$ 是 $1$ 和 $4$ 的比例中项。

平行线分线段成比例

性质

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

几何语言

$$\because l_1//l_2//l_3$$$$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\text{（上比下 = 上比下）}$$$$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}\text{（上比全 = 上比全）}$$$$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}\text{（下比全 = 下比全）}$$

相似三角形

定义

在 $\mathrm{△}ABC$ 和 $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 中，
如果 $\angle A=\angle A^{\prime }$，$\angle B=\angle B^{\prime }$，$\angle C=\angle C^{\prime }$，$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=k$，
即三个角分别相等，三条边成比例，
我们就说 $\mathrm{△}ABC$ 与 $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 相似，相似比为 $k$。
相似用相似符号“$\backsim$”表示，读作“相似于”。
$\mathrm{△}ABC$ 与 $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 相似，记作 $\mathrm{△}ABC\backsim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$。

判定

预备定理

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

几何语言

$$\because DE//BC$$$$\therefore \mathrm{△}ADE\backsim \mathrm{△}ABC$$

判定定理 $AA$

两角分别相等的两个三角形相似。

几何语言

$$\because \angle A=\angle A^{\prime },\angle B=\angle B^{\prime }$$$$\therefore \mathrm{△}ABC\backsim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

判定定理 $SAS$

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

几何语言

$$\because \frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }},\angle A=\angle A^{\prime }$$$$\therefore \mathrm{△}ABC\backsim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

判定定理 $SSS$

三边成比例的两个三角形相似。

几何语言

$$\because \frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}$$$$\therefore \mathrm{△}ABC\backsim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

性质

性质 1

相似三角形的对应角相等。

几何语言

$$\because \mathrm{△}ABC\backsim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$$$\therefore \angle A=\angle A^{\prime },\angle B=\angle B^{\prime },\angle C=\angle C^{\prime }$$

性质 2

相似三角形的对应边成比例。

几何语言

$$\because \mathrm{△}ABC\backsim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$$$\therefore \frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=k$$

性质 3

相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（对应线段的比值均为相似比）。

性质 4

相似三角形周长的比等于相似比。

几何语言

$$\because \mathrm{△}ABC\backsim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$$$\therefore \frac{C_{\mathrm{△}ABC}}{C_{\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}=k$$

性质 5

相似三角形面积的比等于相似比的平方。

几何语言

$$\because \mathrm{△}ABC\backsim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$$$\therefore \frac{S_{\mathrm{△}ABC}}{S_{\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}=k^2$$

一线三垂直相似模型

如果：$\angle A=\angle C=\angle BED=90°$，又 $E$ 为 $AC$ 中点，则：$\mathrm{△}ABE\backsim \mathrm{△}CED\backsim \mathrm{△}EBD$。

鸡在河上（积在和上）

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，边 $BC=x$,高 $AD=y$,四边形 $EFGH$ 是边长为 $a$ 的正方形，则有：

$$a=\frac{xy}{x+y}$$

手拉手模型

$$\mathrm{△}ABC\backsim \mathrm{△}ADE⟺\mathrm{△}ABD\backsim \mathrm{△}ACE$$$$\angle BAC=\angle DAE⟺\angle BAD=\angle CAE$$$$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}⟺\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$$

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share121

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