二次函数

二次函数的定义

一般地，若两个变量 $x$，$y$ 之间的对应关系可以表示成 $y=a{x}^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$ 是常数，$a\ne 0$）的形式，则称 $y$ 是 $x$ 的二次函数。

$y=a{x}^2$ 图像与性质

$y=a{x}^2$	$a>0$	$a<0$
开口方向	向上	向下
顶点	$(0,0)$	$(0,0)$
对称轴	$y$ 轴（经过顶点且垂直于 $x$ 轴）	$y$ 轴 （经过顶点且垂直于 $x$ 轴）
增减性	$x<0$ 时……，$x>0$ 时……	$x<0$ 时……，$x>0$ 时……
最值	开口向上，有最小值 $y=0$	开口向下，有最大值 $y=0$

$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)\stackrel{\text{配方}}{\to }y=a(x-h{)}^2+k(a\ne 0)⟶y=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}(a\ne 0)$

	$y=a(x-h{)}^2+k(a\ne 0)$	$y=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}(a\ne 0)$
对称轴	$x=h$	$x=-\frac{b}{2a}$
顶点	$(h,k)$	$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$

$a$ 影响图像开口方向和大小。$a>0$ 开口向上，$a<0$ 开口向下。$|a|$ 越大，开口越小。
$c$ 决定与 $y$ 轴的交点位置 $(0,c)$。
$a$，$b$ 定对称轴。$a$，$b$ 左同右异中间 $0$。对称轴在 $y$ 轴左，$a$，$b$ 同号，对称轴在 $y$ 轴右，$a$，$b$ 异号。

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